Una compra no alcanza
En una juguetería se venden canicas de dos clases, de cristal y de acero. Cada clase tiene su precio, y siempre el mismo.
- Compramos 3 de cristal y 2 de acero por 1,45 pesos.
- Ayer compramos 2 de cristal y 5 de acero por 1,70 pesos.
Pensalo antes de seguir. Si sólo supieras la primera compra, ¿podrías decir cuánto cuesta cada canica?
No hace falta que calcules. Estimá.
Qué pasa con una sola condición
El gráfico muestra todos los pares de precios que cumplen la primera compra, \(3c + 2a = 1{,}45\). En el eje horizontal va el precio del cristal; en el vertical, el del acero.
Arrastrá el punto \(P\) por la recta y mirá cuántos pares distintos la cumplen.
Y entonces
Una ecuación con dos incógnitas no alcanza para determinar los precios: deja infinitas posibilidades, todas sobre esa recta. Hace falta una segunda condición, y un método para combinar las dos.
Definiciones y los tres métodos
1. Sistemas equivalentes
Idea en una frase: se puede reescribir un sistema de muchas maneras, y mientras no cambie el conjunto de pares que lo cumplen, sigue siendo el mismo problema.
Definición. Dos sistemas son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones. Estas transformaciones dan siempre un sistema equivalente:
- Sumar o restar una misma expresión en los dos miembros de una ecuación.
- Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
- Sumarle a una ecuación otra ecuación del mismo sistema.
- Reemplazar una ecuación por la suma de las dos, previamente multiplicadas por números no nulos.
- Cambiar el orden de las ecuaciones o el de las incógnitas.
Ejemplo resuelto. El sistema \(x + y = 5\) junto con \(2x - y = 1\) tiene solución \((2; 3)\). Si multiplico la segunda por \(3\) obtengo \(6x - 3y = 3\), y el par \((2; 3)\) la sigue verificando: \(12 - 9 = 3\).
Caso límite. Multiplicar por \(0\) da \(0 = 0\), que verifica cualquier par. Ahí se pierde la condición y el sistema deja de ser equivalente. Probalo con el deslizador de más abajo.
Error frecuente
Multiplicar un solo miembro. En \(2x - y = 1\), pasar a \(6x - 3y = 1\) no es una transformación válida: si multiplicás a la izquierda, tenés que multiplicar a la derecha.
2. Método de sustitución
Idea en una frase: despejo una incógnita en una ecuación y la reemplazo en la otra, para quedarme con una sola incógnita.
Ejemplo resuelto con \(4x - 3y = 6\) y \(2x + y = 8\):
- Despejo en la segunda, que es la más cómoda: \(y = 8 - 2x\).
- Sustituyo en la primera: \(4x - 3(8 - 2x) = 6\).
- Distribuyo: \(4x - 24 + 6x = 6\), entonces \(10x = 30\) y \(x = 3\).
- Vuelvo: \(y = 8 - 2 \cdot 3 = 2\).
- Verifico en las dos: \(12 - 6 = 6\) y \(6 + 2 = 8\). Solución \((3; 2)\).
Conviene cuando alguna incógnita ya tiene coeficiente \(1\) o \(-1\).
Este video recorre el método de sustitución paso a paso en otro sistema, y cierra con la verificación en las dos ecuaciones originales, que es el paso que más se omite.
3. Método de igualación
Idea en una frase: despejo la misma incógnita en las dos ecuaciones y, como las dos expresiones valen lo mismo, las igualo.
Ejemplo resuelto con \(5x - y = 9\) y \(2x + 4y = 8\):
- De la primera: \(y = 5x - 9\).
- De la segunda: \(4y = 8 - 2x\), entonces \(y = 2 - \tfrac{x}{2}\).
- Igualo: \(5x - 9 = 2 - \tfrac{x}{2}\), o sea \(\tfrac{11}{2}x = 11\) y \(x = 2\).
- Vuelvo: \(y = 5 \cdot 2 - 9 = 1\).
- Verifico en las dos: \(10 - 1 = 9\) y \(4 + 4 = 8\). Solución \((2; 1)\).
Conviene cuando las dos ecuaciones ya vienen con \(y\) despejada, o es fácil despejarla en ambas.
4. Método de reducción
Idea en una frase: sumo o resto las dos ecuaciones para que una incógnita se cancele sola.
Ejemplo resuelto con \(3x + y = 7\) y \(x - y = 1\):
- Los términos en \(y\) ya son opuestos, así que sumo las dos ecuaciones: \(4x = 8\).
- Entonces \(x = 2\), y volviendo a la segunda, \(2 - y = 1\), o sea \(y = 1\).
- Verifico en las dos: \(6 + 1 = 7\) y \(2 - 1 = 1\). Solución \((2; 1)\).
Contraejemplo. Si los coeficientes no son opuestos ni iguales, sumar no cancela nada. En \(3x + 2y = 7\) y \(x - y = 1\) hay que multiplicar antes la segunda por \(2\), para que queden \(+2y\) y \(-2y\).
Conviene cuando los coeficientes de una incógnita son iguales u opuestos, o se vuelven así multiplicando por un número chico.
Referencia rápida: cuál elegir
- Sustitución: hay un coeficiente \(1\) o \(-1\).
- Igualación: la misma incógnita se despeja fácil en las dos.
- Reducción: los coeficientes de una incógnita son iguales u opuestos.
- Los tres dan el mismo par. Elegir bien ahorra cuentas, no cambia el resultado.
5. Clasificación por posición relativa
Escribí las dos ecuaciones como \(y = mx + b\) y comparalas: primero las pendientes, después las ordenadas al origen.
Errores frecuentes
- Contestar \(x = 2\) en vez del par \((2; 1)\). El sistema pide las dos coordenadas.
- Entender "no tiene solución" como \(x = 0\). \(x = 0\) es un valor; "no tiene solución" es que no existe ningún par.
- Confundir "infinitas soluciones" con "cualquier par sirve". Sirven los infinitos puntos de esa recta, no todos los del plano.
- En reducción, restar \(-y\) menos \(-y\) y anotar \(-2y\). Da \(0\): restar es sumar el opuesto.
6. Los tres métodos, en video
El mismo sistema resuelto por los tres caminos. Prestá atención a que los tres terminan en el mismo punto.
7. Experimentá con los sistemas equivalentes
Multiplicá la segunda ecuación por distintos valores de \(k\) y mirá si la recta se mueve. Probá también \(k = 0\).
Solo lo que los métodos exigen
Multiplicar una ecuación entera, sumarla o restarla con otra, despejar una incógnita y sacar un paréntesis con signo menos. Nada más.
Coeficientes enteros y un método por vez
Si aplicaste los métodos sin perder ningún signo, pasá al escalón central.
Los tres métodos completos y traducción de enunciados
Leé el gráfico
Estas dos rectas forman un sistema. Usalo para el ítem que sigue.
Modelización, errores y propiedades
Armá vos el sistema
Ninguno de estos problemas viene con las ecuaciones puestas. El trabajo es decidir qué representa cada incógnita, escribir las dos condiciones y recién después elegir el método. Resolvelos en papel.
Cada uno trae el resultado, no el procedimiento. Sirve para saber si llegaste, no para copiar el camino: si no coincide, revisá tu planteo antes de mirar de nuevo.
Hallá las longitudes de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es \(24\) y cuyo lado mayor mide el triple que el menor.
Una vez que tengas los lados, calculá el área. Verificá que el perímetro dé \(24\) antes de dar el problema por cerrado.
Resultado
Los lados miden \(3\) y \(9\). El área es \(27\).
En un concierto se venden todas las entradas y se recaudan \(23\,000\) dólares. Las entradas comunes cuestan \(50\) dólares y las vip, \(300\). El lugar tiene capacidad para \(160\) personas. Calculá cuántas entradas de cada tipo se vendieron.
Verificá las dos condiciones: la cantidad total de personas y el dinero recaudado.
Resultado
Se vendieron \(100\) entradas comunes y \(60\) vip.
Dos números suman \(0\). Si a uno de ellos le sumamos \(123\), obtenemos el doble del otro. Determiná de qué números se trata.
Cuidado con cuál de los dos recibe el \(123\): probá tu respuesta en las dos condiciones del enunciado.
Resultado
Los números son \(-41\) y \(41\).
En un campo hay patos y vacas. Entre todos suman \(132\) animales y \(402\) patas. Calculá cuántos hay de cada clase.
La segunda condición no es la cantidad de animales: es la de patas, y cada clase aporta un número distinto.
Resultado
Hay \(63\) patos y \(69\) vacas.
Paula compró \(2\) bolígrafos y sacó \(3\) fotocopias, y pagó \(10,50\) pesos. Liliana compró \(1\) bolígrafo igual y sacó \(15\) fotocopias, y pagó \(12\) pesos. Calculá cuánto va a pagar Romina por \(1\) bolígrafo y \(4\) fotocopias.
Acá el sistema no es la respuesta final: resolvelo primero y usá los precios para contestar lo que se pregunta.
Resultado
El bolígrafo cuesta \(4,50\) y la fotocopia \(0,50\). Romina paga \(6,50\) pesos.
Dónde estás parado
Esto es práctica libre. El puntaje no es una nota: es información sobre qué te conviene repasar.