Lo que cambia y lo que no
Un plan de celular cobra todos los meses 1200 pesos fijos, se use lo que se use, y además 40 pesos por cada GB consumido.
Pensalo antes de seguir. Si un mes consumís el doble de GB que el mes pasado, ¿la factura te va a llegar al doble?
No hace falta que calcules nada todavía. Estimá.
Lo que la tabla deja ver
Completá la tabla de \(y = 2x - 1\). Después mirá la fila de abajo entera, no valor por valor.
Y entonces
Ese aumento constante es lo que distingue a una función lineal, y es también lo que permite graficarla sin tabla: si sabés dónde arranca y cuánto sube por paso, el resto sale solo.
Definiciones
1. Ecuación lineal de una incógnita
Idea en una frase: resolver es aislar la incógnita aplicando en los dos miembros la operación inversa.
Definición. Una ecuación lineal de una incógnita es una igualdad de la forma \(ax + b = c\), con \(a \neq 0\). Su solución es el único valor de \(x\) que hace verdadera la igualdad.
Ejemplo resuelto. Resolvamos \(3x - 8 = 7\).
- Sumamos \(8\) en los dos miembros: \(3x - 8 + 8 = 7 + 8\), o sea \(3x = 15\).
- Dividimos los dos miembros por \(3\): \(x = 5\).
- Verificación: \(3 \cdot 5 - 8 = 15 - 8 = 7\). Correcto.
Caso límite. Si \(a = 0\) la ecuación deja de ser lineal en \(x\): \(0 \cdot x + 3 = 7\) no tiene solución, y \(0 \cdot x + 3 = 3\) la verifican todos los números.
Error frecuente
"Lo que suma pasa restando" aplicado de memoria falla con términos negativos. En \(5 - 2x = 11\) el término es \(-2x\): pasa sumando, queda \(5 = 11 + 2x\), y de ahí \(2x = -6\), \(x = -3\). No es \(x = 3\).
2. Función lineal
Idea en una frase: en \(y = mx + b\), \(m\) dice cuánto sube la recta por cada paso a la derecha y \(b\) dice dónde corta al eje \(y\).
Definición. Las funciones cuya fórmula es \(f(x) = mx + b\), con \(m\) y \(b\) números reales, se llaman funciones lineales. Su gráfico es una recta de pendiente \(m\). La constante \(b\) es la ordenada al origen, porque el punto \((0; b)\) es la intersección de la recta con el eje de ordenadas.
Si \(m > 0\) la función es creciente en todo su dominio; si \(m < 0\), decreciente.
Ejemplo resuelto. En \(y = -5x + 2\): pendiente \(m = -5\), decreciente, y ordenada al origen \(b = 2\).
Caso límite. Con \(m = 0\) queda \(y = 3\): función constante, recta horizontal, sin raíz.
Error frecuente
Leer \(y = -5x + 2\) y decir "pendiente \(2\)". La pendiente es el número que multiplica a \(x\): acá es \(-5\).
3. Raíz, dominio e imagen
Idea en una frase: la raíz es dónde la recta cruza el eje \(x\), y se busca preguntando para qué valor de \(x\) la función vale cero.
Definición. Se llaman ceros o raíces a los valores de \(x\) cuya imagen es cero. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar \(x\); el conjunto imagen, el de los resultados posibles.
Ejemplo resuelto. La raíz de \(y = -5x + 2\) sale de \(-5x + 2 = 0\), o sea \(x = \tfrac{2}{5}\). Es una ecuación lineal de una incógnita: el punto 1 de esta teoría.
Caso límite. La función constante \(y = 3\) no tiene raíz, porque nunca vale cero. Y \(y = 0\) tiene infinitas: es el propio eje \(x\).
- \(m\): inclinación, acompaña a la \(x\).
- \(b\): corte con el eje \(y\), término solo.
- Raíz: corte con el eje \(x\), se busca haciendo \(y = 0\).
Error frecuente
Confundir la raíz con la ordenada al origen. Son los dos cortes con los ejes, pero con ejes distintos: la ordenada al origen se lee en la fórmula, la raíz se calcula.
4. Graficar sin tabla, en video
Este video grafica \(y = 2x - 3\) sin tabla de valores: marca la ordenada al origen, usa la pendiente para llegar al segundo punto y termina verificando.
Referencia rápida: graficar en tres pasos
- Marcar el punto \((0; b)\).
- Desde ahí, subir \(m\) si es positiva o bajar si es negativa, y correr \(1\) a la derecha.
- Unir los dos puntos.
5. Experimentá con la recta
Moví los deslizadores y mirá qué le pasa al crecimiento, al corte con el eje \(y\) y a la raíz. Probá también \(m = 0\).
Cuando termines este recorrido, el paso siguiente es sistemas de ecuaciones, donde vas a trabajar con dos de estas rectas a la vez.
Solo lo que este tema exige
Fracciones irreducibles, simplificación y regla de signos al sumar y restar términos. Nada más.
Coeficientes enteros y lectura de la fórmula
Pertenece o no pertenece
Arrastrá el punto \(P\) por el plano. El cartel te dice si está sobre la recta \(y = 2x - 1\).
Llevá \(P\) al corte con el eje \(x\) y fijate qué valor tiene ahí la abscisa: esa es la raíz.
Si distinguís sin dudar la raíz de la ordenada al origen, pasá al escalón central.
Coeficientes racionales y cambio de registro
Leé el gráfico
El punto verde es el corte con el eje \(y\); el rojo es otro punto de la recta. Usalos para el ítem que sigue.
Interpretar, comparar y determinar parámetros
Modelizá vos la situación
Estos problemas no vienen con la fórmula puesta: el trabajo es decidir qué representa cada variable, armar la función y recién después calcular. Resolvelos en papel.
Cada uno trae el resultado, no el procedimiento. Sirve para saber si llegaste, no para copiar el camino: si no coincide, revisá tu planteo antes de mirar de nuevo.
Una planta medía \(2\) cm cuando empezó el cultivo y en la primera semana pasó a medir \(2,5\) cm. Durante las primeras \(10\) semanas el crecimiento es directamente proporcional al tiempo. Escribí la función que da la altura en función del tiempo.
Después de escribirla, decidí qué representan la pendiente y la ordenada al origen en esta situación, y calculá cuánto mide a las \(10\) semanas.
Resultado
\(h(t) = 0,5\,t + 2\), con \(t\) en semanas y \(h\) en centímetros. A las \(10\) semanas mide \(7\) cm.
Por el alquiler de un auto cobran \(100\) pesos fijos más \(0,30\) pesos por kilómetro recorrido. Encontrá la función que relaciona el costo con la cantidad de kilómetros.
Calculá cuánto se paga por un recorrido de \(300\) km, y después averiguá cuántos kilómetros se hicieron si la cuenta dio \(250\) pesos.
Resultado
\(C(k) = 0,30\,k + 100\). Por \(300\) km se pagan \(190\) pesos. Una cuenta de \(250\) pesos corresponde a \(500\) km.
Un técnico cobra \(2500\) pesos por la visita más \(2000\) pesos por cada hora de trabajo. Determiná cuánto hay que pagarle en función del tiempo que dure la visita.
Calculá el pago por una visita de \(5\) horas. Preguntate también si esta función tiene raíz, y si esa raíz significa algo en el contexto del problema.
Resultado
\(P(h) = 2000\,h + 2500\). Por \(5\) horas se pagan \(12\,500\) pesos. La raíz es \(h = -1,25\): matemáticamente existe, pero no tiene sentido en el problema, porque no hay visitas de duración negativa.
Una empresa compró una máquina en \(15\,000\) pesos. Se deprecia de forma lineal \(750\) pesos por año y se descarta cuando su valor llega a \(2250\) pesos. Escribí el valor de la máquina en función de los años de uso.
Determiná cuántos años queda en uso y cuánto vale a los \(6\) años. Fijate qué signo tiene la pendiente y por qué.
Resultado
\(V(t) = 15\,000 - 750\,t\). Queda en uso \(17\) años y a los \(6\) años vale \(10\,500\) pesos.
Se vacía una pileta de \(20\,000\) litros con una bomba que extrae \(4000\) litros por hora. Escribí el volumen de agua que queda en función del tiempo.
Calculá cuánto tarda en vaciarse y cuánta agua queda al cabo de una hora. Acá la raíz sí tiene un significado concreto: identificá cuál.
Resultado
\(V(t) = 20\,000 - 4000\,t\). Tarda \(5\) horas en vaciarse y al cabo de una hora quedan \(16\,000\) litros. La raíz, \(t = 5\), es el momento en que la pileta queda vacía.
Dónde estás parado
Esto es práctica libre. El puntaje no es una nota: es información sobre qué te conviene repasar.