Sistemas de ecuaciones
Dos ecuaciones que tienen que cumplirse al mismo tiempo. El video resuelve el mismo sistema por tres caminos distintos — grafico, sustitucion y eliminacion — y los tres llegan al mismo punto.
Duracion 3:04 · la sustitucion se desarrolla paso por paso, con pausa en cada uno
El sistema del ejemplo
2x − y = 1
Cada ecuacion por separado tiene infinitas soluciones. La primera se cumple con (0, 5), con (1, 4), con (3, 2) y con cualquier otro par que sume 5.
Lo que buscamos es el par que cumple las dos a la vez. Ese par, si existe, es la solucion del sistema. En este caso es (2, 3).
Metodo grafico
Si despejamos y en cada ecuacion, las dos quedan escritas como funciones lineales:
Cada una se dibuja como una recta. Los puntos de la primera recta son los que cumplen la primera ecuacion; los de la segunda, los de la segunda. Entonces el punto que cumple las dos tiene que estar en las dos rectas: es el punto donde se cortan.
En el grafico ese cruce cae en x = 2, y = 3.
Metodo analitico 1: sustitucion
La idea es dejar una sola incognita. Se despeja una de una ecuacion y se la mete en la otra: al hacerlo, esa otra ecuacion pasa a tener una sola letra, y ya se sabe resolverla.
- Miramos la ecuacion mas simple, x + y = 5. Aca despejar es facil porque las dos incognitas estan solas, sin numeros multiplicando.
- Despejamos: y = 5 − x. Pasamos la x al otro lado restando.
- Sustituimos en la otra ecuacion: donde decia y escribimos (5 − x), y queda 2x − (5 − x) = 1.
- Sacamos el parentesis: 2x − 5 + x = 1. El signo menos de adelante invierte los signos de los dos terminos de adentro.
- Agrupamos los terminos con x: 3x − 5 = 1.
- Pasamos el −5 sumando: 3x = 6.
- Dividimos los dos lados por 3: x = 2.
- Volvemos a la expresion del paso 2 y reemplazamos: y = 5 − 2.
- Resolvemos: y = 3.
Metodo analitico 2: eliminacion
Aca la idea es otra: sumar las dos ecuaciones de manera que una incognita se cancele sola. En este sistema sale directo, porque una ecuacion tiene +y y la otra −y.
| (1) | x + y = 5 | |
| (2) | 2x − y = 1 | |
| + | 3x = 6 | la y desaparece |
| → | x = 2 | dividiendo por 3 |
Con x = 2 ya conocido, lo reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones originales. En la primera: 2 + y = 5, o sea y = 3.
Cuando los coeficientes no se cancelan solos, primero se multiplica una ecuacion (o las dos) por el numero que haga falta para emparejarlos, y recien despues se suma o se resta.
Verificacion
Terminar reemplazando la solucion en las dos ecuaciones originales cuesta diez segundos y detecta casi cualquier error de signo:
2 · 2 − 3 = 1 ✓
Las dos se cumplen, asi que (2, 3) es efectivamente la solucion. Ojo con un detalle: hay que verificar en las ecuaciones originales, no en las que fuimos armando durante el despeje. Si nos equivocamos en un paso intermedio, verificar contra ese paso equivocado no revela nada.
Los tres casos posibles
No todos los sistemas tienen una solucion unica. Como cada ecuacion es una recta, las posibilidades son las mismas que tienen dos rectas en el plano:
| Las rectas | Soluciones | Como se llama | Al resolverlo aparece |
|---|---|---|---|
| se cortan | una sola | compatible determinado | un valor para cada incognita |
| son paralelas | ninguna | incompatible | algo falso, como 0 = 4 |
| son la misma | infinitas | compatible indeterminado | algo siempre cierto, como 0 = 0 |
La ultima columna es la mas util en la practica: cuando las incognitas se cancelan y queda una igualdad sin letras, no es que este mal hecho. Es el sistema avisando que no tiene solucion unica.
Cual conviene usar
| Metodo | Conviene cuando |
|---|---|
| Grafico | se quiere entender que significa la solucion, o estimarla rapido |
| Sustitucion | alguna incognita ya esta despejada o es facil de despejar |
| Eliminacion | los coeficientes son opuestos o faciles de emparejar |
Los dos metodos analiticos son igual de validos y dan siempre el mismo resultado: se elige el que genere menos cuentas para el sistema que toco.